A matemática por trás do Blockchain

Funcionamento Matemático da Rede Blockchain

Para entender o funcionamento da rede blockchain do ponto de vista matemático, é importante conhecer alguns conceitos-chave e processos envolvidos na criação e manutenção da blockchain. Vou descrever esses elementos e como eles se interconectam matematicamente.

1. Hashing

Hashing é um processo matemático que transforma uma entrada de qualquer tamanho em uma saída de tamanho fixo. Na blockchain, a função de hash utilizada é geralmente o SHA-256 (Secure Hash Algorithm 256-bit).

Propriedades do Hash:
Determinístico: A mesma entrada sempre produz a mesma saída.
Rápido de Computar: Fácil de calcular para qualquer entrada.
Resistente à Pré-imagem: Dado um hash, é difícil encontrar a entrada original.
Pequenas Alterações na Entrada Mudam Drasticamente o Hash: Mesmo uma pequena mudança na entrada resulta em um hash completamente diferente.
Resistente à Colisão: É extremamente improvável que duas entradas diferentes produzam o mesmo hash.

Matematicamente, o hash de uma entrada xxx é representado por:

h(x)=SHA-256(x)h(x) = \text{SHA-256}(x)h(x)=SHA-256(x)

2. Blocos e Blockchain

Blocos na blockchain contêm várias transações, um carimbo de data/hora e um hash do bloco anterior. A relação entre os blocos é fundamental para a segurança e integridade da blockchain.

Estrutura de um Bloco:
Cabeçalho do Bloco: Contém metadados como o hash do bloco anterior, carimbo de data/hora e nonce (número usado uma vez).
Corpo do Bloco: Contém a lista de transações.

O hash de um bloco BiB_iBi é calculado a partir do cabeçalho do bloco e das transações:

H(Bi)=SHA-256(H(Bi−1)∥timestamp∥nonce∥transactions)H(B_i) = \text{SHA-256}(H(B_{i-1}) \| \text{timestamp} \| \text{nonce} \| \text{transactions})H(Bi)=SHA-256(H(Bi−1)∥timestamp∥nonce∥transactions)

onde ∥\|∥ denota a concatenação dos dados.

3. Mineração e Proof of Work

Mineração é o processo pelo qual os blocos são adicionados à blockchain, garantindo a validade e a integridade dos dados. No sistema Proof of Work (PoW), os mineradores competem para resolver um problema matemático difícil, que envolve encontrar um valor de nonce que, quando combinado com o conteúdo do bloco, produz um hash que atende a um determinado critério (geralmente um certo número de zeros iniciais).

Problema de Proof of Work:

H(Cabec¸alho do Bloco∥nonce)<AlvoH(\text{Cabeçalho do Bloco} \| \text{nonce}) < \text{Alvo}H(Cabec¸alho do Bloco∥nonce)<Alvo

onde o alvo é ajustado pela rede para controlar a dificuldade de mineração e manter o tempo de criação de blocos constante.

4. Consenso e Segurança

Consenso na rede blockchain é alcançado através do protocolo PoW, que garante que todos os nós da rede concordem sobre a validade das transações e a ordem dos blocos. Isso é matematicamente garantido pelo processo de mineração, onde a dificuldade de resolver o problema PoW impede que um único ator controle a rede.

Ataques de 51%: A segurança da blockchain depende de que nenhum ator controle mais de 50% do poder computacional da rede. Se isso acontecer, o ator pode reverter transações e criar bifurcações na cadeia.

5. Criptografia Assimétrica

Criptografia Assimétrica é usada para garantir que as transações sejam seguras e autênticas. Cada usuário na rede blockchain possui um par de chaves: uma chave pública e uma chave privada.

Assinatura Digital:
Para uma transação ser válida, ela deve ser assinada pela chave privada do remetente.
A assinatura digital é verificada pelos nós da rede usando a chave pública do remetente.

Matematicamente, a assinatura digital de uma transação TTT é gerada por:

Assinatura=Sign(chave privada,H(T))\text{Assinatura} = \text{Sign}(\text{chave privada}, H(T))Assinatura=Sign(chave privada,H(T))

E verificada por:

Verificac¸a˜o=Verify(chave puˊblica,H(T),Assinatura)\text{Verificação} = \text{Verify}(\text{chave pública}, H(T), \text{Assinatura})Verificac¸a˜o=Verify(chave puˊblica,H(T),Assinatura)

6. Merkle Trees

Merkle Trees são usadas para organizar transações dentro de um bloco de forma eficiente e segura. Cada folha na árvore é um hash de uma transação, e cada nó interno é um hash da concatenação dos hashes dos seus filhos.

Construção da Merkle Tree:

Hash do Noˊ Interno=SHA-256(Hash Filho Esquerdo∥Hash Filho Direito)\text{Hash do Nó Interno} = \text{SHA-256}(\text{Hash Filho Esquerdo} \| \text{Hash Filho Direito})Hash do Noˊ Interno=SHA-256(Hash Filho Esquerdo∥Hash Filho Direito)

A raiz da Merkle Tree, conhecida como Merkle Root, é armazenada no cabeçalho do bloco, proporcionando um método eficiente para verificar a integridade e a presença de transações.

Conclusão

O funcionamento matemático da blockchain envolve uma combinação de técnicas de hashing, criptografia assimétrica, árvores de Merkle e mecanismos de consenso como Proof of Work. Esses elementos garantem a segurança, imutabilidade e descentralização da blockchain, tornando-a uma tecnologia revolucionária para registros digitais.